Các nhà toán học luôn có những ý kiến ​​khác nhau về sự phân biệt giữa toán học thuần túy và ứng dụng. Một trong những ví dụ hiện đại nổi tiếng nhất (nhưng có lẽ bị hiểu nhầm) của cuộc tranh luận này có thể tìm thấy ở Godfrey Harold Hardy với Lời xin lỗi của một nhà toán học

Nhiều người tin rằng Hardy coi toán học ứng dụng là xấu và ngu si đần độn. Mặc dù Hardy thích toán học thuần túy, mà ông thường so sánh với hội họa và thơ ca, Hardy nhìn thấy sự khác biệt giữa toán học thuần túy và ứng dụng, đơn giản là toán học ứng dụng đã tìm cách thể hiện sự thật vật lý trong một khuôn khổ toán học, trong khi toán học thuần túy độc lập với thế giới vật chất. Hardy đã tạo ra một sự khác biệt riêng biệt trong toán học giữa cái mà ông gọi là toán học "thực", "có giá trị thẩm mỹ vĩnh viễn", và "phần mờ và các phần cơ bản của toán học" có sử dụng thực tiễn.

Hardy đã xem xét một số nhà vật lí, như Albert Einstein, và Paul Dirac, là một trong số những nhà toán học "thực sự", nhưng vào lúc ông viết Lời xin lỗi của một nhà toán học, ông cũng coi thuyết tương đối rộng và cơ học lượng tử là "vô ích", cho phép ông giữ ý kiến ​​rằng chỉ có toán học "ngu si" có hữu ích. Hơn nữa, Hardy đã thừa nhận rằng - giống như việc áp dụng lý thuyết ma trận và lý thuyết nhóm vào vật lý đã bất ngờ xuất hiện - thời gian có thể xảy ra khi mà một số loại toán học "thực sự" đẹp có thể hữu ích.

Một cái nhìn sâu sắc được cung cấp bởi Magid:

Tôi luôn nghĩ rằng một mô hình tốt ở đây có thể được rút ra từ lý thuyết vòng. Trong chủ đề đó, chúng ta có các nhóm nhỏ của lý thuyết vòng giao hoán và lý thuyết vòng không hoạt động. Một người quan sát không được thông tin có thể nghĩ rằng đây là một sự phân đôi, nhưng trên thực tế nó lại là dạng cũ: một vòng không hoạt động là một vòng không nhất thiết là giao hoán. Nếu chúng ta sử dụng các quy ước tương tự, thì chúng ta có thể tham khảo toán học ứng dụng và toán học không ứng dụng, ở đây chúng ta định nghĩa là toán học không nhất thiết phải ứng dụng...[2]